Note Actions 1
Note Actions 1
Comment obtenir le taux de Rendement d’une action, ou son Cost of Equity, et l’indicateur de Valorisation correspondant.
La méthodologie ACE a été développée sur toutes les classes d’actifs pour répondre à ces questions.
A.C.E. signifie Analyse en Composantes Exactes.
Pour un actif donné et un historique quotidien de prix et de performances, ACE produit sur une fréquence quotidienne :
i) le taux de Rendement de l’actif
ii) l’indicateur de Valorisation correspondant au rendement.
Les deux notions sont liées par la capacité à expliquer la performance de l’actif.
La performance Total Return d’une période quelconque doit se décomposer exactement en deux termes :
i) le cumul du rendement qui court de jour en jour
ii) le cumul de l’effet des changements de Valorisation.
Ainsi, le taux de rendement de l’actif peut être défini comme la performance annualisée qui sera obtenue si la niveau de Valorisation ne change pas. On l’appelle aussi le Rendement à conditions de marché inchangées.
La présente note explique comment ACE construit l’analyse des performances d’une action d’année en année. Puis un exemple est montré avec l’analyse de jour en jour.
Il y a plusieurs modèles de ACE pour une action, c’est-à-dire plusieurs manières de définir le Rendement (”Cost of Equity” de l’action) et le niveau de Valorisation correspondant. Une des solutions est centrale.
Introduction
Pour une obligation, le calcul actuariel fournit la solution standard :
— son niveau de Valorisation est défini par son taux actuariel
— le taux actuariel est également le taux de rendement,
grâce à la propriété actuarielle importante :
si le taux actuariel est le même au début et à la fin d’une période donnée – et qu’il n’y a pas de flux avant la fin -, la performance annualisée du titre sera égale au taux actuariel de départ.
La performance d’une obligation en un laps de temps se découpe alors en deux termes :
i) le taux actuariel de départ qui court pendant la période
ii) le gain ou la perte dû à la variation du taux actuariel.
Précisons que cette analyse ne donne pas automatiquement l’espérance de la performance, tant qu’on n’a pas défini l’espérance du taux actuariel à venir. L’analyse de la performance est en amont d’indicateurs de performance espérée.
Comment généraliser ce procédé aux actions ?
Nous cherchons une décomposition de la performance d’une action qui soit une identité, et non une hypothèse de travail qui serait à valider par des statistiques ou des considérations macro-économiques.
”While a firm’s present cost of debt is relatively easy to determine from observation of interest rates in the capital markets, its current cost of equity is unobservable and must be estimated”.
Le Cost of Equity est inobservable par manque d’instrument, ou parce qu’à l’instant présent, on ignore les données telles que les bénéfices en cours et les dividendes à venir ?
Principaux résultats
La formule de Gordon-Shapiro, en se restreignant à un monde stationnaire, donne le taux d’actualisation des flux à venir, en anglais Discount Factor ou encore Cost of Equity.
Si l’on reste dans le cadre restrictif de Gordon-Shapiro, ce taux prévoit la performance dans le cas où il est le même au départ et à la fin de la période étudiée.
Une version simplifiée et plus souple est alors présentée pour analyser les performances annuelles d’une entreprise, avec la seule hypothèse de prévisions correctes en début d’année des bénéfices de l’année à venir et de la distribution. Dans ce cadre simplifié, où il n’est plus nécessaire de supposer une croissance constante dans l’avenir, nous verrons que :
i) une adaptation de la formule de Gordon donne ce que l’action rapporte à valorisation inchangée.
ii) le ratio Price to Book explique les variations de valorisation.
ACE ayant été démontré en rythme annuel, et étayé par un exemple, on conclut en montrant les résultats
d’une exemple réel, sur un rythme quotidien.
Les résultats reprennent la terminologie de Jack Bogle et Michael Nolan dans leur article de 2015 [efn_note]Occam’s Razor Redux : Establishing Reasonable Expectations for Financial Market Returns
John C. BOGLE & Michael W. NOLAN, JR. THE JOURNAL OF PORTFOLIO MANAGEMENT, FALL 2015[/efn_note] qui analyse la performance Total Return d’une action en deux termes :
Investment Return le cumul du rendement avec le temps ;
Speculative Return, le cumul des variations de valorisation.
Note pour le lecteur
Les termes anglais sont employés sont en italique. Les formules mathématiques sont commentées et il n’est jamais nécessaire de lire les démonstrations déplacées dans les Annexes.
Table des matières
0.1 Notations
0.2 Hypothèses
1 Taux de Rendement, ou Cost of Equity, de l’entreprise GORDO avec une croissance permanente du Dividende
1.1 Démonstration de la formule de Gordon-Shapiro
1.2 Le taux de Rendement de Gordon aide à comprendre la performance
2 Taux de Rendement, ou Cost of Equity, de l’entreprise QUELQ avec la croissance de la Book Value en 2022
2.1 Quelle croissance suivre ?
2.2 Décomposition de la Performance avec la croissance de Book Value
3 Contexte : Plusieurs taux de Rendement, plusieurs analyses possibles de la performance
4 Niveau de Valorisation, dans un cadre annuel simplifié 8
4.1 Construction des grandeurs comptables, Prix et performances de JNJa
4.2 Cost of Equity de JNJa
4.3 Analyse de la performance de JNJa
4.4 Niveau de Valorisation de JNJa
4.5 Tests graphes, provisoire
5 Mise en œuvre de ACE dans un cadre réel
A Le taux de Rendement de Gordon prévoit la performance annuelle de l’entreprise GORDO, quand le taux est inchangé en fin d’année
B Formule de Gordon : exemple numérique
C Performance annuelle expliquée par Div/P + gB et la performance du ratio PtB
C.1 Performance du Prix avec celle de la Book Value et celle du ratio PtB
C.2 Performance Total Return de l’entreprise QUELQ
D Rendement et Performance annuelle de l’entreprise QUELQ : vérification avec un exemple
E PROVISOIRE
On se place le 1er janvier 2022, les résultats de l’année 2021 ont été publiés à l’aube et le dividende annuel pour 2021 vient d’être payé. Le nombre d’actions est constant et toute grandeur est rapportée à une action.
Données pour le porteur de l’action
\(P\) & prix de l’action aujourd’hui, le 1er janvier 2022
\(D’\) prochain dividende annuel, à recevoir le 1er janvier 2023
\(D’/P\) est le Dividend Yield
\(P’\) prix de l’action dans un an, inconnu aujourd’hui
\(perfTR\) performance annuelle qui sera obtenue fin 2022. L’action vaudra \(P’\) et reçevra \(D’\)
\[perfTR=\frac{P’+D’}{P}-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\]
Données comptables
\(B\) valeur comptable de l’action aujourd’hui, ou Fonds Propres. Le terme exact en anglais est Book Value of the Equity, souvent résumé par Equity, ou Book Value (… quite confusing)
\(B’\) Book Value dans un an
\(PtB\) ratio Price to Book \(PtB=P/B\)
\(g_B\) taux de croissance de la Book Value
\[g_B=\frac{B’-B}{B}\]
La croissance de la Book Value vient de la part de bénéfice de l’année 2022 qui ne sera pas distribué en fin d’année ; mais le bénéfice n’intervient pas dans la présente note, il entrera en jeu dans les notes suivantes.
Donnée recherchée
\(R\) Cost of Equity, ou taux de Rendement, dont bénéficie le porteur, aujourd’hui 1er jan 2022
La première entreprise, appelée GORDO, a un taux de croissance des dividendes constant dans les années et siècles à venir.
Pour les deux entreprises, on suppose que :
1. le bénéfice de l’exercice 2022 à venir est prévu correctement
2. le prochain dividende, à verser dans un an le 1er janvier 2023, est déjà décidé.
En somme, GORDO est irréaliste, car aucune entreprise ne voit son dividende croître pendant des dizaines d’année.
En revanche le cadre pour l’entreprise QUELQ est très peu restrictif puisqu’à part la prévision du bénéfice de l’année en cours et du dividende à venir, aucune autre hypothèse n’est à faire.
1 Taux de Rendement, ou Cost of Equity, de l’entreprise GORDO avec une croissance permanente du Dividende
Pour suivre la démonstration de Gordon, il faut se donner la croissance du dividende \(g_B\) et la supposer constante.
On calcule la valeur actualisée des dividendes avec le taux d’actualisation noté \(R\), qu’on se donne (on égalisera ensuite la valeur actuelle avec le prix de marché pour obtenir le taux \(R\) du marché).
Dans un an l’actionnaire reçoit le dividende \(D’\) de valeur actuelle \(D’/(1+R)\)
Dans deux ans il reçoit \(D’\cdot(1+g_D)\) de valeur actuelle \(D’\cdot(1+g_D)/(1+R)^2\)
La valeur actuelle est la somme des valeurs actuelles des dividendes :
\[\begin{align*}\text { Valeur actuelle }&=\frac{D’}{1+R} + \frac{D’\cdot(1+g_D)}{(1+R)^2} + \frac{D’\cdot(1+g_D)^2}{(1+R)^3} + \cdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\
&= \frac{D’}{1+R} \cdot [ 1 + \frac{1+g_D}{1+R} + \frac{(1+g_D)^2}{(1+R)^2} + \cdots ] \end{align*}\]
C’est une ”série géométrique” qui croît au rythme annuel \((1+g_D)/(1+R)\), qui peut se simplifier en
\[\text { Valeur actuelle }=\frac{D’}{R-g_D}\]
La formule de Gordon s’obtient en égalisant le prix de marché \(P\) et la valeur actuelle des dividendes au taux \(R\)
\[P=\frac{D’}{R-g_D}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\]
ou, connaissant le Prix de l’action, on en déduit son taux de rendement :
\[R=\frac{D’}{P}+g_D\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)\]
La formule de Gordon (4) est un concept qui a du sens : les actionnaires profitent à plein de la croissance, à laquelle s’ajoutent les bénéfices non réinvestis.
Mais elle n’a aucune portée pratique. Comment croire qu’on puisse assimiler une action à un titre donnant un dividende croissant au rythme g pendant des dizaines d‘années ?
Il faudrait même un siècle : avec un Dividend Yield \(D’/P\) de 3% et une croissance des dividendes de 4%, si on somme les 50 premiers termes de la formule (3), on n’atteint que 75% de la valeur de l’action ! Avec les 100 premières années, il manque encore 6% ..
Telle quelle, la formule de Gordon est une abstraction inutilisable pour valoriser une action.
Pourtant, le taux de rendement « de Gordon » va se montrer bien utile pour comprendre la performance pendant une période donnée, une année dans notre exemple.
Il est montré en Annexe A que si \(R\) recalculé en fin d’année a la même valeur \(R\) qu’au départ, alors le prix \(P\) croît au rythme de la croissance \(g_D\) et la performance réalisée est égale à \(R\).
Quand le taux de rendement \(R\) est inchangé en fin d’année, la performance annuelle est égale à ce taux \(R\)
On retrouve la propriété générale d’un taux de rendement actuariel : quand il ne varie pas pendant un laps de temps, la performance annualisée est égale à ce taux.
Voir un exemple numérique dans l’Annexe B
Résumé du paragraphe
La formule de Gordon donne le taux de Rendement annuel \(R\) (ou taux d’actualisation, ou Cost of Equity) qu’apporte une action, en supposant constante la croissance de son dividende.
\[R=D’/P+g\] Le modèle de Gordon ne correspond à aucun cas réel, mais nous avons établi ce résultat :
La performance annuelle est égale au taux \(R\), si \(R\) est le même un an plus tard.
C’est un premier prototype de ACE :
i) n connaît le Rendement annuel \(R\), qui est la performance de l’action à monde inchangé
ii) le « monde inchangé » est ici : le taux \(R\) ne change pas
2 Taux de Rendement, ou Cost of Equity, de l’entreprise QUELQ avec la croissance de la Book Value en 2022
Quand on parle de croissance la question se pose toujours : de quelle croissance s’agit-il ?
- La formule originelle de Gordon utilise la croissance des dividendes, en la supposant permanente.
- Le quotidien des marchés accorde une grande place à la croissance du bénéfice, de même de nom-
breuses analyses académiques qui la mettent au centre de leurs équations. - Mais nous préférons commencer avec la croissance de la Book Value. Dans le premier modèle opéra-
tionnel de la gamme ACE, ce sera celle des Capitaux Investis (Book Value + Dette nette de cash),
mais ici on ne complique pas les choses avec le recours à la dette.
Pourquoi ce choix ?
La croissance du dividende comme du bénéfice porte sur un flux, tandis que celle de la Book Value porte sur un stock. Un analyste qui suit une entreprise accorde naturellement une grande importance à la croissance du bénéfice, c’est-à-dire la croissance d’un surplus.
ACE vise à moins de finesse, il s’agit d’abord de suivre la taille de l’entreprise et d’appréhender dans la performance de l‘action ce qui vient de la croissance de l’entreprise.
Le candidat suivant pour évaluer la taille de l’entreprise sera le chiffre d’affaires.
Il est montré en Annexe C que la performance du prix se décompose en croissance de la Book Value et performance du ratio \(PtB\)
\[\frac{P’-P}{P}\simeq g_B + \frac{ \Delta PtB}{PtB}\]
d’où la performance Total Return de QUELQ en 2022 : \[perfTR=(\frac{D’}{P}+g_B+ \frac{\Delta PtB}{PtB}\cdot (1+g_B)\]
AAAAAA \[\text { Total Return en }\ TT=perfTR=log(1+Y)*(TT) – sensi*T\] AAAAAA
\[\text { Total Return en } \ TT=perfTR=(1+Y)*(TT) – sensi*T\]
\[S_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}
= \frac{1}{n}\sum_{i}^{n} X_i\]
\[\text { Investment Return en } \Delta t=\log (1+Y)^{*} \Delta t\]
\[\text { Total Return pendant } \Delta t= perfTR =\log (1+Y)^{*} \Delta t-\text{ sensi }^{*} \Delta Y\]
On connaît la solution standard pour une obligation:
\\ii) son niveau de valorisation est définie par son taux actuariel \\i) le taux actuariel est aussi le taux de rendement, en vertu d’une propriété actuarielle: \\si le taux actuariel ne change pas, la performance annualisée du titre sera égale à ce taux (en prenant un laps de temps sans flux avant la fin).
Introduction
\[S_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}
= \frac{1}{n}\sum_{i}^{n} X_i\]
On connaît la solution standard pour une obligation:
\\ii) son niveau de valorisation est définie par son taux actuariel \\i) le taux actuariel est aussi le taux de rendement, en vertu d’une propriété actuarielle: \\si le taux actuariel ne change pas, la performance annualisée du titre sera égale à ce taux (en prenant un laps de temps sans flux avant la fin).
\\La performance d’une obligation en un laps de temps se découpe alors en deux termes :
\\i) le taux actuariel de départ qui court pendant le laps de temps
\\ii) le gain ou la perte dû à la variation du taux actuariel
\\Précisons que le premier terme de cette analyse n’est pas forcément l’espérance de la performance, car rien n’oblige à supposer que l’espérance du taux actuariel à venir est égale au taux d’aujourd’hui.
L’analyse de la performance est en amont d’indicateurs de performance espéré