Fonctionnement de ACE Taux en décembre 2022
ACE s’applique aux courbes de taux d’Etat : Allemagne, France, Italie, Espagne ; USA, UK, Japon.
ACE s’applique aussi aux futures de taux de la zone Euro et aux futures US, anglais, japonais.
Les futures sont faciles à traiter, à roller, mais l’analyse de leur performance est plus compliquée que celle des points de courbe.
Pour un jour donné un future a le même comportement que l’obligation sous-jacente appelée la moins chère à livrer, ou « cheapest ». Mais la cheapest d’un même contrat future peut changer, ou à l’occasion d’un roll. Dès lors la durée du future est variable.
Exemple : le contrat US1 a fait un grand saut pendant le roll de mars 2015, sa durée passant de 15 ans à 21 ans.
Cela complique l’analyse de la performance des futures, qui n’est pas expliquée ici. Cette page traite de l’analyse d’un Point de courbe.
Pour entrer dans les détails, avec plus de formules de calcul : voir la Note Taux.
Introduction aux Points de courbe (constant maturity)
Historiquement la méthodologie A.C.E. a été créée pour gérer des portefeuilles d’obligations d’Etat, les futures sur obligations, les CDS (dérivés sur crédit), qui peuvent être agrégés en « Points de courbe ».
On appelle Point de courbe (constant maturity) la stratégie qui maintient constante la durée d’un portefeuille, par exemple le 10 ans.
Voir la Note Taux qui présente plusieurs façons de répliquer un Point de courbe.
Une difficulté dans la gestion de portefeuilles obligataires vient de la décroissance de la durée des obligations avec le temps. Contrairement à un gérant actions le gérant obligataire ne peut s’asseoir sur ses titres et attendre qu’ils rapportent.
Un gérant obligataire a certes des titres dans son portefeuille, avec leur échéance et leur taux actuariel chaque jour, mais ce n’est pas ce qu’il suit au jour le jour, ou ce qu’il lit dans le journal sur la plage au mois d’août. Peu importe le taux actuariel du titre à 9,75 ans qu’il a acheté il y a 3 mois, c’est le niveau du 10 ans qu’il veut suivre.
Il ne s’agit pas de savoir si la courbe des taux aurait ou non une propension probabiliste à rester stable, mais de préparer le cadre de ACE.
Dans le langage de ACE : « les conditions sont inchangées » signifie pour un titre que la courbe des taux est inchangée à l’endroit où le titre se trouve, et non que son taux actuariel est inchangé.
On résume ce cas particulier par « à courbe constante ».
Quand on achète le titre à 10 ans, son taux va varier parce que la courbe des taux va avoir un certain mouvement et parce que le titre va se déplacer dans la courbe.
En langage courant : « le taux d’un titre varie parce que la courbe des taux bouge et que le titre bouge dans la courbe »
Ce phénomène est bien connu des intervenants, il est résumé par le terme anglais roll-down. Mais tous ne prennent pas la mesure de ce qu’ils peuvent gagner quand ils rollent leur portefeuille – si la courbe est pentue.
Un exemple marquant a été la performance du future Bund entre le 20 avril 2015 et le 20 avril 2016, où le taux du 10 ans était quasiment à zéro au début et à la fin. Pourtant le future Bund est parvenu à gagner 3% en une année, sans que le niveau du 10 ans n’ait baissé, en partant de 0% et revenant à 0%.
Cela coûtait donc 3% par an de shorter le contrat Bund, et non 0% comme ont pu le croire certains gérants, et il était possible d’en faire le calcul ex ante en observant la courbe des taux.
Exemple choisi pour l’analyse de la performance d’un Point de courbe
Nous prenons ici une période plus récente, avec le 10 ans allemand qui est la référence des courbes d’Etat de la zone Euro.
À des fins démonstratives on prend l’exemple théorique mais simple d’un portefeuille qui est rollé sur un rythme quotidien, en revendant tous les jours le 10ans moins 1 jour et rachetant le nouveau 10 ans.
Ceci se pratique avec des swaps de taux mais pas avec les obligations. Voir la Note Taux pour d’autres exemples.
La période étudiée, du 10 juin 2015 au 22 avril 2022, a été choisie pour avoir le même taux au début et à la fin.
Le taux du 10 ans allemand est à 0.98% le 10 juin 2015 et le 22 avril 2022.
Rappel du Cahier des Charges pour les Taux
Pour un point de courbe donné, par exemple le 10ans allemand, ACE produit les séries quotidiennes :
i) le Rendement à Courbe Constante, appelé aussi le taux de Rendement à conditions de valorisation inchangées
ii) le Niveau de Valorisation (le taux actuariel du 10 ans)
, ce qui permet de découper entièrement l’indice Total Return en deux termes :
i) l’indice Investment Return qui cumule le Rendement à Courbe Constante de jour en jour
ii) l’indice Speculative Return qui suit l’effet des variations du taux actuariel du 10 ans
Etape n°1 Quel est l’indicateur du niveau du 10 ans ?
L’indicateur de niveau est par définition le taux actuariel du 10 ans, puisqu’on a défini le « marché est inchangé » par « la courbe des taux est inchangée à l’endroit où on se trouve le titre ».
Le taux du 10 ans est noté Y
Sa variation entre un jour donné et le lendemain est notée \Delta Y
D’un jour à l’autre, le 10 ans de la veille varie de \Delta Y + un petit mouvement de taux dû à sa baisse de durée, puisqu’il ne fait plus que 10 ans moins 1 jour.
L’effet est petit mais il a lieu .. tous les jours.
Voir l’exemple ci-dessous ; voir la Note Taux pour la formulation détaillée.
Etape n°2 Combien cela rapporte de porter du 10 ans tous les jours ?
Le taux du 10 ans a été en moyenne proche de 0%, et il n’a ni monté ni baissé : un bon sens trompeur ferait penser qu’on doit avoir une performance à peu près nulle en portant du 10 ans pendant cette période. C’est raisonner sans prendre en compte le roll-down, expliqué dans le paragraphe précédent.
Le « Rendement à courbe constante » est égal au taux actuariel auquel s’ajoute l’effet du roll-down. Voir Note Taux pour les formules de calcul et les résultats.
Il y est démontré que \;R = Y + sensi \cdot pente \; \; \;\; ①
en notant
\hspace{1cm}R le Rendement à courbe constante
\hspace{1cm}sensi la sensibilité du prix au taux
\hspace{1cm}pente la pente, ou vitesse à laquelle le taux baisse au point considéré.
Exemple le 10 juin 2015 : la pente est de 0.15% par an (= l’écart entre le 10 ans et le 9 ans est de 0.15%) ; la sensibilité est de 9.5, donc le roll-down rapporte 0.15% \cdot 9.5 = 1.42% par an, ce qui est loin d’être négligeable.
R est supérieur au taux actuariel Y tant que la courbe est pentue, c’est-à-dire de pente positive :
En simplifiant les valeurs et la formulation :
la courbe des taux pentue permet d’obtenir du 1% pendant sept ans avec des taux stables autour de 0%
Résumé des Étapes 1 et 2
La connaissance de la courbe des taux permet de lire chaque jour pour le 10 ans :
i) son indicateur de niveau, c.à.d le taux actuariel du 10 ans
ii) son Rendement à conditions inchangées, ou Rendement à courbe constante , défini dans la formule ①
Noter que le Rendement à courbe constante est un taux ex ante : il est 17h, on lit le taux du 10 ans et grâce au taux de ses voisins on a la pente, donc le Rendement à courbe constante noté R.
Si d’ici demain soir la courbe des taux est inchangée, la performance sera égale à R\cdot\Delta t avec \Delta t = \frac{1}{365}
L’effet du taux actuariel Y et celui du Rendement à courbe constante R sont très différents en termes de performances :
Etape n°3 Effet en performance des variations de niveau
Le taux actuariel du 10 ans ne nous intéresse que pour ses mouvements.
Pour un jour donné, le taux de titre à 10 ans acheté hier varie parce que le titre dérive dans la courbe et parce que le 10 ans varie. Le premier phénomène, le roll-down, est pris en compte dans le Rendement à courbe constante ; c’est le deuxième qui nous intéresse ici, implique une plus-ou-moins value si le taux du 10 ans varie de \Delta Y
En reprenant le terme Speculative Return de Bogle et Nolan (^{1})
\hspace {1cm}Speculative\,Return\,en\,\Delta t =\,-\, sensi \cdot \Delta Y
Note. Les identités mathématiques sont expliquées dans la Note Taux.
La dernière formule est souvent employée comme approximation linéaire, mais elle peut être exacte, en calculant adéquatement la sensibilité.
On obtient l’indice SpeculativeReturn en le multipliant de jour en jour par le facteur
\hspace {2cm} 1+ SpecReturn \,en\,\Delta t = 1\, -\, sensi \cdot \Delta Y
(voir la courbe rouge dans le graphe ci-dessous)
Etape n°4 Effet en performance du Rendement à courbe constante
En reprenant le terme Investment Return de Bogle et Nolan (^{2}):
\hspace {2cm}Investment\,Return\,en\,\Delta t = R \cdot \Delta t
\hspace{2cm} avec \Delta t = \frac {1}{365} ou \frac{3}{365}
On obtient l’indice Investment Return en le multipliant de jour en jour par le facteur
\hspace{2cm}1 + Investment\, Return\,en\,\Delta t = 1 + R \cdot \Delta t
(voir la courbe verte dans le graphe ci dessous)
(^{1}) (^{2}) Les termes Investment Return et Speculative Return sont repris de l’article de Jack Bogle et Michael Nolan
Occam’s Razor Redux: Establishing Reasonable Expectations for Financial Market Returns
JOHN C. BOGLE AND MICHAEL W. NOLAN THE JOURNAL OF PORTFOLIO MANAGEMENT FALL 2015
Etape n°5 Comparaison des deux effets en performance
En affichant les indices Investment Return et Speculative Return dans un même graphe :
, on fait plusieurs observations :
. toute la volatilité est dans le Speculative Return, due aux mouvements du taux du 10 ans
. le Speculative Return est revenu à 100 parce que nous sommes dans un cas particulier, avec le taux du 10 ans qui revient au point de départ.
Et il n’y a pas eu de dérive déplaisante, due à un effet de convexité, qui ne ramènerait pas le Spec. Return à 100 à la fin. Pour plus de détails, voir Note Taux.
L’Investment Return est régulier, cela est dû à sa nature. Chaque jour il monte d’un petit R \cdot \Delta T
Exemple : même avec un grand R = 7.3\% , R \cdot \Delta t = \frac { 7.3\% } { 365 } = 0.02 \% alors qu’un mouvement quotidien standard tel que 4 bp de hausse (0.04% de taux) induit une performance Spec Return de – 0.04\% \cdot 10= -0.40\%
Si l’Investment Return est régulier, sa vitesse, le Rendement à courbe constante R ne l’est pas, comme on le voit dans le 2ème graphe de la page.
Retenons cette image : l’Investment Return serait comme une voiture à carburateur mal réglé. La vitesse tremble fort (le Rendement à courbe constante), mais l’allure est régulière aux yeux de l’observateur extérieur (la courbe verte de l’Investment Return ci-dessus).
Etape n°6 Synthèse : vérification du Total Return
Chaque jour, avec la connaissance de la courbe on déduit le taux actuariel du titre acheté la veille, qui a comme durée 10 ans – 1 jour, et qu’il faut revendre, avant d’acheter le nouveau 10 ans. En calculant sa valeur actuarielle on a la performance du jour.
Retrouve-t-on par ce calcul direct la même performance quotidienne que celle obtenue en sommant le Speculative Return et l’Investment Return, qui ont calculés indépendamment ?
La réponse est positive, l’équation suivante est vérifiée au dixième de bp (par an) près :
Total\, Return\, en\, \Delta t = Invest.\, Return\, en\, \Delta t + Spec.\, Return\, en\,\Delta t
Les mathématiques l’avaient prévu mais il y a eu des barrières techniques à franchir, notamment le calcul de la sensibilité ; et un léger bruit entre effet attendu de la pente et effet réalisé.
Les résultats sont résumés dans ce dernier graphe :
Décomposition par ACE de la performance Total Return
du 10 ans allemand entre le 10 juin 2015 et le 22 avril 2022
Résumé des Étapes 3 à 6
Le Rendement à courbe constante et les variations de taux génèrent deux indices :
i) en appelant Investment Return l’effet du Rendement à courbe constante qui court chaque jour :
Investment\,Return\,en\,\Delta t = R \cdot \Delta t
ii) en appelant Speculative Return l’effet de la variation de niveau chaque jour, c.à.d. du taux du 10 ans :
Speculative\,Return\,en\,\Delta t = – \, sensi \cdot \Delta Y
, on obtient les indices de même nom par le produit cumulé des facteurs
\hspace { 2cm } 1 + Return \, en \, \Delta t
Leur représentation graphique résume l’analyse de la performance Total Return par ACE.
Dans cet exemple particulier, où le taux du 10 ans revient à la fin au point de départ, le Speculative Return est bien revenu à 100, et l’Investment Return a rejoint le Total Return.